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      2. 實用文檔>一元二次方程實數(shù)根錯例剖析的教案

        一元二次方程實數(shù)根錯例剖析的教案

        時間:2022-04-25 09:06:25

        一元二次方程實數(shù)根錯例剖析的教案

        一元二次方程實數(shù)根錯例剖析的教案

        一元二次方程實數(shù)根錯例剖析的教案

          1、關于x的方程ax2+bx+c=0,當a_____時,方程為一元一次方程;當 a_____時,方程為一元二次方程。

          2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______,當△_______時,方程有兩個相等的實數(shù)根,當△_______時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,當△________時,方程沒有實數(shù)根。

          例1 下列方程中兩實數(shù)根之和為2的方程是()

          (A) x2+2x+3=0 (B) x2-2x+3=0 (c) x2-2x-3=0 (D) x2+2x+3=0

          錯答: B

          正解:C

          錯因剖析:由根與系數(shù)的關系得x1+x2=2,極易誤選B,又考慮到方程有實數(shù)根,故由△可知,方程B無實數(shù)根,方程C合適。

          例2 若關于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 兩個實數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是( )

          (A) k>-1 (B) k<0 (c) -1< k<0 (D) -1≤k<0

          錯解 :B

          正解:D

          錯因剖析:漏掉了方程有實數(shù)根的前提是△≥0

          例3(2000廣西中考題) 已知關于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有兩個不相等的實根,求k的取值范圍。

          錯解: 由△=(-2)2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得 k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

          圍是 -1≤k<2

          錯因剖析:漏掉了二次項系數(shù)1-2k≠0這個前提。事實上,當1-2k=0即k=時,原方程變?yōu)橐淮畏匠�,不可能有兩個實根。

          正解: -1≤k<2且k≠

          例4 (2002山東太原中考題) 已知x1,x2是關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個實數(shù)根,當x12+x22=15時,求m的值。

          錯解:由根與系數(shù)的關系得

          x1+x2= -(2m+1), x1x2=m2+1,

          ∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2

          =[-(2m+1)]2-2(m2+1)

         �。�2 m2+4 m-1

          又∵ x12+x22=15

          ∴ 2 m2+4 m-1=15

          ∴ m1 = -4 m2 = 2

          錯因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當m = -4時,方程為x2-7x+17=0,此時△=(-7)2-4×17×1= -19<0,方程無實數(shù)根,不符合題意。

          正解:m = 2

          例5 若關于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有實數(shù)根,求m的取值范圍。

          錯解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1) =16 m+20

          ∵ △≥0

          ∴ 16 m+20≥0,

          ∴ m≥ -5/4

          又 ∵ m2-1≠0,

          ∴ m≠±1

          ∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -

          錯因剖析:此題只說(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是關于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時就必須考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種情況。當m2-1=0時,即m=±1時,方程變?yōu)橐辉淮畏匠�,仍有實�?shù)根。

          正解:m的取值范圍是m≥-

          例6 已知二次方程x2+3 x+a=0有整數(shù)根,a是非負數(shù),求方程的整數(shù)根。

          錯解:∵方程有整數(shù)根,

          ∴△=9-4a>0,則a<2。25

          又∵a是非負數(shù),∴a=1或a=2

          令a=1,則x= -3±,舍去;令a=2,則x1= -1、 x2= -2

          ∴方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2

          錯因剖析:概念模糊。非負整數(shù)應包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當a=0時,還可以求出方程的另兩個整數(shù)根,x3=0, x4= -3

          正解:方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2 , x3=0, x4= -3

          練習1、(01濟南中考題)已知關于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2。(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由。

          解:(1)根據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4 k2>0 解得k<

          ∴當k<時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。

          (2)存在。如果方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+ x2=-=0,

          解得k=。經(jīng)檢驗k=是方程-的解。

          ∴當k=時,方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。

          讀了上面的解題過程,請判斷是否有錯誤?如果有,請指出錯誤之處,并直接寫出正確答案。

          解:上面解法錯在如下兩個方面:

         �。�1)漏掉k≠0,正確答案為:當k<時且k≠0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。

         �。�2)k=。不滿足△>0,正確答案為:不存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)

          練習2(02廣州市)當a取什么值時,關于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實數(shù)根 ?

          解:(1)當a=0時,方程為4x-1=0,∴x=

         �。�2)當a≠0時,∵△=16+4a≥0 ∴a≥ -4

          ∴當a≥ -4且a≠0時,方程有實數(shù)根。

          又因為方程只有正實數(shù)根,設為x1,x2,則:

          x1+x2=->0 ;

          x1。 x2=->0 解得 :a<0

          綜上所述,當a=0、a≥ -4、a<0時,即當-4≤a≤0時,原方程只有正實數(shù)根。

          以上數(shù)例,說明我們在求解有關二次方程的問題時,往往急于尋求結(jié)論而忽視了實數(shù)根的存在與“△”之間的關系。

          1、運用根的判別式時,若二次項系數(shù)為字母,要注意字母不為零的條件。

          2、運用根與系數(shù)關系時,△≥0是前提條件。

          3、條件多面時(如例5、例6)考慮要周全。

          1、當m為何值時,關于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有兩個正根?

          2、已知,關于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)沒有實數(shù)根。求證:關于x的方程

         �。╩-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一個或兩個實數(shù)根。

          考題匯編

          1、(2000年廣東省中考題)設x1、 x2是方程x2-5x+3=0的兩個根,不解方程,利用根與系數(shù)的關系,求(x1-x2)2的值。

          2、(2001年廣東省中考題)已知關于x的方程x2-2x+m-1=0

         �。�1)若方程的一個根為1,求m的值。

         �。�2)m=5時,原方程是否有實數(shù)根,如果有,求出它的實數(shù)根;如果沒有,請說明理由。

          3、(2002年廣東省中考題)已知關于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有兩個實數(shù)根,且兩根的平方和比兩根的積大33,求m的值。

          4、(2003年廣東省中考題)已知x1、x2為方程x2+px+q=0的兩個根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求p和q的值。

          課題:一元二次方程實數(shù)根錯例剖析課

          精選學生在解一元二次方程有關問題時出現(xiàn)的典型錯例加以剖析,幫助學生找出產(chǎn)生錯誤的原因和糾正錯誤的方法,使學生在解題時少犯錯誤,從而培養(yǎng)學生思維的批判性和深刻性。

          1、關于x的方程ax2+bx+c=0,當a_____時,方程為一元一次方程;當 a_____時,方程為一元二次方程。

          2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______,當△_______時,方程有兩個相等的實數(shù)根,當△_______時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,當△________時,方程沒有實數(shù)根。

          例1 下列方程中兩實數(shù)根之和為2的方程是()

          (A) x2+2x+3=0 (B) x2-2x+3=0 (c) x2-2x-3=0 (D) x2+2x+3=0

          錯答: B

          正解:C

          錯因剖析:由根與系數(shù)的關系得x1+x2=2,極易誤選B,又考慮到方程有實數(shù)根,故由△可知,方程B無實數(shù)根,方程C合適。

          例2 若關于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 兩個實數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是( )

          (A) k>-1 (B) k<0 (c) -1< k<0 (D) -1≤k<0

          錯解 :B

          正解:D

          錯因剖析:漏掉了方程有實數(shù)根的前提是△≥0

          例3(2000廣西中考題) 已知關于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有兩個不相等的實根,求k的取值范圍。

          錯解: 由△=(-2)2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得 k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

          圍是 -1≤k<2

          錯因剖析:漏掉了二次項系數(shù)1-2k≠0這個前提。事實上,當1-2k=0即k=時,原方程變?yōu)橐淮畏匠�,不可能有兩個實根。

          正解: -1≤k<2且k≠

          例4 (2002山東太原中考題) 已知x1,x2是關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個實數(shù)根,當x12+x22=15時,求m的值。

          錯解:由根與系數(shù)的關系得

          x1+x2= -(2m+1), x1x2=m2+1,

          ∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2

          =[-(2m+1)]2-2(m2+1)

         �。�2 m2+4 m-1

          又∵ x12+x22=15

          ∴ 2 m2+4 m-1=15

          ∴ m1 = -4 m2 = 2

          錯因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當m = -4時,方程為x2-7x+17=0,此時△=(-7)2-4×17×1= -19<0,方程無實數(shù)根,不符合題意。

          正解:m = 2

          例5 若關于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有實數(shù)根,求m的取值范圍。

          錯解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1) =16 m+20

          ∵ △≥0

          ∴ 16 m+20≥0,

          ∴ m≥ -5/4

          又 ∵ m2-1≠0,

          ∴ m≠±1

          ∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -

          錯因剖析:此題只說(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是關于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時就必須考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種情況。當m2-1=0時,即m=±1時,方程變?yōu)橐辉淮畏匠�,仍有實�?shù)根。

          正解:m的取值范圍是m≥-

          例6 已知二次方程x2+3 x+a=0有整數(shù)根,a是非負數(shù),求方程的整數(shù)根。

          錯解:∵方程有整數(shù)根,

          ∴△=9-4a>0,則a<2。25

          又∵a是非負數(shù),∴a=1或a=2

          令a=1,則x= -3±,舍去;令a=2,則x1= -1、 x2= -2

          ∴方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2

          錯因剖析:概念模糊。非負整數(shù)應包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當a=0時,還可以求出方程的另兩個整數(shù)根,x3=0, x4= -3

          正解:方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2 , x3=0, x4= -3

          練習1、(01濟南中考題)已知關于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2。(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由。

          解:(1)根據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4 k2>0 解得k<

          ∴當k<時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。

          (2)存在。如果方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+ x2=-=0,

          解得k=。經(jīng)檢驗k=是方程-的解。

          ∴當k=時,方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。

          讀了上面的解題過程,請判斷是否有錯誤?如果有,請指出錯誤之處,并直接寫出正確答案。

          解:上面解法錯在如下兩個方面:

         �。�1)漏掉k≠0,正確答案為:當k<時且k≠0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。

         �。�2)k=。不滿足△>0,正確答案為:不存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)

          練習2(02廣州市)當a取什么值時,關于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實數(shù)根 ?

          解:(1)當a=0時,方程為4x-1=0,∴x=

         �。�2)當a≠0時,∵△=16+4a≥0 ∴a≥ -4

          ∴當a≥ -4且a≠0時,方程有實數(shù)根。

          又因為方程只有正實數(shù)根,設為x1,x2,則:

          x1+x2=->0 ;

          x1。 x2=->0 解得 :a<0

          綜上所述,當a=0、a≥ -4、a<0時,即當-4≤a≤0時,原方程只有正實數(shù)根。

          以上數(shù)例,說明我們在求解有關二次方程的問題時,往往急于尋求結(jié)論而忽視了實數(shù)根的存在與“△”之間的關系。

          1、運用根的判別式時,若二次項系數(shù)為字母,要注意字母不為零的條件。

          2、運用根與系數(shù)關系時,△≥0是前提條件。

          3、條件多面時(如例5、例6)考慮要周全。

          1、當m為何值時,關于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有兩個正根?

          2、已知,關于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)沒有實數(shù)根。求證:關于x的方程

          (m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一個或兩個實數(shù)根。

          考題匯編

          1、(2000年廣東省中考題)設x1、 x2是方程x2-5x+3=0的兩個根,不解方程,利用根與系數(shù)的關系,求(x1-x2)2的值。

          2、(2001年廣東省中考題)已知關于x的方程x2-2x+m-1=0

          (1)若方程的一個根為1,求m的值。

         �。�2)m=5時,原方程是否有實數(shù)根,如果有,求出它的實數(shù)根;如果沒有,請說明理由。

          3、(2002年廣東省中考題)已知關于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有兩個實數(shù)根,且兩根的平方和比兩根的積大33,求m的值。

          4、(2003年廣東省中考題)已知x1、x2為方程x2+px+q=0的兩個根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求p和q的值。

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          2. 一元二次方程實數(shù)根錯例剖析的教案

            一元二次方程實數(shù)根錯例剖析的教案

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              1、關于x的方程ax2+bx+c=0,當a_____時,方程為一元一次方程;當 a_____時,方程為一元二次方程。

              2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______,當△_______時,方程有兩個相等的實數(shù)根,當△_______時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,當△________時,方程沒有實數(shù)根。

              例1 下列方程中兩實數(shù)根之和為2的方程是()

              (A) x2+2x+3=0 (B) x2-2x+3=0 (c) x2-2x-3=0 (D) x2+2x+3=0

              錯答: B

              正解:C

              錯因剖析:由根與系數(shù)的關系得x1+x2=2,極易誤選B,又考慮到方程有實數(shù)根,故由△可知,方程B無實數(shù)根,方程C合適。

              例2 若關于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 兩個實數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是( )

              (A) k>-1 (B) k<0 (c) -1< k<0 (D) -1≤k<0

              錯解 :B

              正解:D

              錯因剖析:漏掉了方程有實數(shù)根的前提是△≥0

              例3(2000廣西中考題) 已知關于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有兩個不相等的實根,求k的取值范圍。

              錯解: 由△=(-2)2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得 k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

              圍是 -1≤k<2

              錯因剖析:漏掉了二次項系數(shù)1-2k≠0這個前提。事實上,當1-2k=0即k=時,原方程變?yōu)橐淮畏匠�,不可能有兩個實根。

              正解: -1≤k<2且k≠

              例4 (2002山東太原中考題) 已知x1,x2是關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個實數(shù)根,當x12+x22=15時,求m的值。

              錯解:由根與系數(shù)的關系得

              x1+x2= -(2m+1), x1x2=m2+1,

              ∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2

              =[-(2m+1)]2-2(m2+1)

             �。�2 m2+4 m-1

              又∵ x12+x22=15

              ∴ 2 m2+4 m-1=15

              ∴ m1 = -4 m2 = 2

              錯因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當m = -4時,方程為x2-7x+17=0,此時△=(-7)2-4×17×1= -19<0,方程無實數(shù)根,不符合題意。

              正解:m = 2

              例5 若關于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有實數(shù)根,求m的取值范圍。

              錯解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1) =16 m+20

              ∵ △≥0

              ∴ 16 m+20≥0,

              ∴ m≥ -5/4

              又 ∵ m2-1≠0,

              ∴ m≠±1

              ∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -

              錯因剖析:此題只說(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是關于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時就必須考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種情況。當m2-1=0時,即m=±1時,方程變?yōu)橐辉淮畏匠�,仍有實�?shù)根。

              正解:m的取值范圍是m≥-

              例6 已知二次方程x2+3 x+a=0有整數(shù)根,a是非負數(shù),求方程的整數(shù)根。

              錯解:∵方程有整數(shù)根,

              ∴△=9-4a>0,則a<2。25

              又∵a是非負數(shù),∴a=1或a=2

              令a=1,則x= -3±,舍去;令a=2,則x1= -1、 x2= -2

              ∴方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2

              錯因剖析:概念模糊。非負整數(shù)應包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當a=0時,還可以求出方程的另兩個整數(shù)根,x3=0, x4= -3

              正解:方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2 , x3=0, x4= -3

              練習1、(01濟南中考題)已知關于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2。(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由。

              解:(1)根據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4 k2>0 解得k<

              ∴當k<時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。

              (2)存在。如果方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+ x2=-=0,

              解得k=。經(jīng)檢驗k=是方程-的解。

              ∴當k=時,方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。

              讀了上面的解題過程,請判斷是否有錯誤?如果有,請指出錯誤之處,并直接寫出正確答案。

              解:上面解法錯在如下兩個方面:

             �。�1)漏掉k≠0,正確答案為:當k<時且k≠0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。

             �。�2)k=。不滿足△>0,正確答案為:不存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)

              練習2(02廣州市)當a取什么值時,關于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實數(shù)根 ?

              解:(1)當a=0時,方程為4x-1=0,∴x=

             �。�2)當a≠0時,∵△=16+4a≥0 ∴a≥ -4

              ∴當a≥ -4且a≠0時,方程有實數(shù)根。

              又因為方程只有正實數(shù)根,設為x1,x2,則:

              x1+x2=->0 ;

              x1。 x2=->0 解得 :a<0

              綜上所述,當a=0、a≥ -4、a<0時,即當-4≤a≤0時,原方程只有正實數(shù)根。

              以上數(shù)例,說明我們在求解有關二次方程的問題時,往往急于尋求結(jié)論而忽視了實數(shù)根的存在與“△”之間的關系。

              1、運用根的判別式時,若二次項系數(shù)為字母,要注意字母不為零的條件。

              2、運用根與系數(shù)關系時,△≥0是前提條件。

              3、條件多面時(如例5、例6)考慮要周全。

              1、當m為何值時,關于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有兩個正根?

              2、已知,關于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)沒有實數(shù)根。求證:關于x的方程

             �。╩-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一個或兩個實數(shù)根。

              考題匯編

              1、(2000年廣東省中考題)設x1、 x2是方程x2-5x+3=0的兩個根,不解方程,利用根與系數(shù)的關系,求(x1-x2)2的值。

              2、(2001年廣東省中考題)已知關于x的方程x2-2x+m-1=0

             �。�1)若方程的一個根為1,求m的值。

             �。�2)m=5時,原方程是否有實數(shù)根,如果有,求出它的實數(shù)根;如果沒有,請說明理由。

              3、(2002年廣東省中考題)已知關于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有兩個實數(shù)根,且兩根的平方和比兩根的積大33,求m的值。

              4、(2003年廣東省中考題)已知x1、x2為方程x2+px+q=0的兩個根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求p和q的值。

              課題:一元二次方程實數(shù)根錯例剖析課

              精選學生在解一元二次方程有關問題時出現(xiàn)的典型錯例加以剖析,幫助學生找出產(chǎn)生錯誤的原因和糾正錯誤的方法,使學生在解題時少犯錯誤,從而培養(yǎng)學生思維的批判性和深刻性。

              1、關于x的方程ax2+bx+c=0,當a_____時,方程為一元一次方程;當 a_____時,方程為一元二次方程。

              2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______,當△_______時,方程有兩個相等的實數(shù)根,當△_______時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,當△________時,方程沒有實數(shù)根。

              例1 下列方程中兩實數(shù)根之和為2的方程是()

              (A) x2+2x+3=0 (B) x2-2x+3=0 (c) x2-2x-3=0 (D) x2+2x+3=0

              錯答: B

              正解:C

              錯因剖析:由根與系數(shù)的關系得x1+x2=2,極易誤選B,又考慮到方程有實數(shù)根,故由△可知,方程B無實數(shù)根,方程C合適。

              例2 若關于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 兩個實數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是( )

              (A) k>-1 (B) k<0 (c) -1< k<0 (D) -1≤k<0

              錯解 :B

              正解:D

              錯因剖析:漏掉了方程有實數(shù)根的前提是△≥0

              例3(2000廣西中考題) 已知關于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有兩個不相等的實根,求k的取值范圍。

              錯解: 由△=(-2)2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得 k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

              圍是 -1≤k<2

              錯因剖析:漏掉了二次項系數(shù)1-2k≠0這個前提。事實上,當1-2k=0即k=時,原方程變?yōu)橐淮畏匠�,不可能有兩個實根。

              正解: -1≤k<2且k≠

              例4 (2002山東太原中考題) 已知x1,x2是關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個實數(shù)根,當x12+x22=15時,求m的值。

              錯解:由根與系數(shù)的關系得

              x1+x2= -(2m+1), x1x2=m2+1,

              ∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2

              =[-(2m+1)]2-2(m2+1)

             �。�2 m2+4 m-1

              又∵ x12+x22=15

              ∴ 2 m2+4 m-1=15

              ∴ m1 = -4 m2 = 2

              錯因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當m = -4時,方程為x2-7x+17=0,此時△=(-7)2-4×17×1= -19<0,方程無實數(shù)根,不符合題意。

              正解:m = 2

              例5 若關于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有實數(shù)根,求m的取值范圍。

              錯解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1) =16 m+20

              ∵ △≥0

              ∴ 16 m+20≥0,

              ∴ m≥ -5/4

              又 ∵ m2-1≠0,

              ∴ m≠±1

              ∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -

              錯因剖析:此題只說(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是關于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時就必須考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種情況。當m2-1=0時,即m=±1時,方程變?yōu)橐辉淮畏匠�,仍有實�?shù)根。

              正解:m的取值范圍是m≥-

              例6 已知二次方程x2+3 x+a=0有整數(shù)根,a是非負數(shù),求方程的整數(shù)根。

              錯解:∵方程有整數(shù)根,

              ∴△=9-4a>0,則a<2。25

              又∵a是非負數(shù),∴a=1或a=2

              令a=1,則x= -3±,舍去;令a=2,則x1= -1、 x2= -2

              ∴方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2

              錯因剖析:概念模糊。非負整數(shù)應包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當a=0時,還可以求出方程的另兩個整數(shù)根,x3=0, x4= -3

              正解:方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2 , x3=0, x4= -3

              練習1、(01濟南中考題)已知關于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2。(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由。

              解:(1)根據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4 k2>0 解得k<

              ∴當k<時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。

              (2)存在。如果方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+ x2=-=0,

              解得k=。經(jīng)檢驗k=是方程-的解。

              ∴當k=時,方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。

              讀了上面的解題過程,請判斷是否有錯誤?如果有,請指出錯誤之處,并直接寫出正確答案。

              解:上面解法錯在如下兩個方面:

             �。�1)漏掉k≠0,正確答案為:當k<時且k≠0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。

             �。�2)k=。不滿足△>0,正確答案為:不存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)

              練習2(02廣州市)當a取什么值時,關于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實數(shù)根 ?

              解:(1)當a=0時,方程為4x-1=0,∴x=

             �。�2)當a≠0時,∵△=16+4a≥0 ∴a≥ -4

              ∴當a≥ -4且a≠0時,方程有實數(shù)根。

              又因為方程只有正實數(shù)根,設為x1,x2,則:

              x1+x2=->0 ;

              x1。 x2=->0 解得 :a<0

              綜上所述,當a=0、a≥ -4、a<0時,即當-4≤a≤0時,原方程只有正實數(shù)根。

              以上數(shù)例,說明我們在求解有關二次方程的問題時,往往急于尋求結(jié)論而忽視了實數(shù)根的存在與“△”之間的關系。

              1、運用根的判別式時,若二次項系數(shù)為字母,要注意字母不為零的條件。

              2、運用根與系數(shù)關系時,△≥0是前提條件。

              3、條件多面時(如例5、例6)考慮要周全。

              1、當m為何值時,關于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有兩個正根?

              2、已知,關于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)沒有實數(shù)根。求證:關于x的方程

              (m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一個或兩個實數(shù)根。

              考題匯編

              1、(2000年廣東省中考題)設x1、 x2是方程x2-5x+3=0的兩個根,不解方程,利用根與系數(shù)的關系,求(x1-x2)2的值。

              2、(2001年廣東省中考題)已知關于x的方程x2-2x+m-1=0

              (1)若方程的一個根為1,求m的值。

             �。�2)m=5時,原方程是否有實數(shù)根,如果有,求出它的實數(shù)根;如果沒有,請說明理由。

              3、(2002年廣東省中考題)已知關于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有兩個實數(shù)根,且兩根的平方和比兩根的積大33,求m的值。

              4、(2003年廣東省中考題)已知x1、x2為方程x2+px+q=0的兩個根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求p和q的值。