函數(shù)必考性質(zhì)總結(jié)歸納
函數(shù)必考性質(zhì)總結(jié)歸納
一、定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函數(shù)。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。
即：y=kx （k為常數(shù)，k0）
二、一次函數(shù)的性質(zhì)：
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b （k為任意不為零的實數(shù) b取任何實數(shù)）
2.當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：
1．作法與圖形：通過如下3個步驟
（1）列表；
�。�2）描點；
�。�3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點）
2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3．k，b與函數(shù)圖像所在象限：
當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當b＞0時，直線必通過一、二象限；
當b=0時，直線通過原點
當b＜0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達式：
已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。
（1）設(shè)一次函數(shù)的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。
�。�2）因為在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②
�。�3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。
�。�4）最后得到一次函數(shù)的表達式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：
1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：（不全，希望有人補充）
1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
二次函數(shù)
I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
�。╝，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a0）
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）]
交點式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點A（x? ，0）和 B（x?，0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-bb^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x= -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P( -b/2a，(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時，P在y軸上；當= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x= -bb^2－4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式 頂點坐標對 稱 軸
y=ax^2(0，0) x=0
y=a(x-h)^2(h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k(h，k) x=h
y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
當h0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當h0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當h0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當h0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象：當a0時，開口向上，當a0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a0)，若a0，當x-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a0，當x-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x-b/2a時，y隨x的增大而減�。�
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=
(a0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?|
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△0．圖象與x軸沒有交點．當a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y0；當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a0)．
7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．
反比例函數(shù)
形如 y＝k／x(k為常數(shù)且k0) 的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。
反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：
反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。
由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點對稱。
另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數(shù)圖像。
當K＞0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)
當K＜0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)
反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。
知識點：
1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。
2.對于雙曲線y＝k／x ，若在分母上加減任意一個實數(shù) (即 y＝k／（xm）m為常數(shù))，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移）
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