《直線的點(diǎn)斜式方程》教學(xué)設(shè)計(jì)
《直線的點(diǎn)斜式方程》教學(xué)設(shè)計(jì)
學(xué)習(xí)離不開(kāi)思維，善思則學(xué)得活，效率高，不善思則學(xué)得死，效果差。數(shù)學(xué)網(wǎng)小編準(zhǔn)備了高一數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，供大家參考!
一、內(nèi)容及其解析
1.內(nèi)容：這是一節(jié)建立直線的點(diǎn)斜式方程(斜截式方程)的概念課.學(xué)生在此之前已學(xué)習(xí)了在直角坐標(biāo)系內(nèi)確定直線一條直線幾何要素,已知直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角(斜率)可以確定一條直線,已知兩點(diǎn)也可以確定一條直線.本節(jié)要求利用確定一條直線的幾何要素直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角,建立直線方程,通過(guò)方程研究直線.
2.解析：直線方程屬于解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，是研究解析幾何的開(kāi)始.從整體來(lái)看,直線方程初步體現(xiàn)了解析幾何的實(shí)質(zhì)用代數(shù)的知識(shí)研究幾何問(wèn)題.從集合與對(duì)應(yīng)的角度構(gòu)建了平面上的直線與二元一次方程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,是學(xué)習(xí)解析幾何的基礎(chǔ).對(duì)后續(xù)圓、直線與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無(wú)論是知識(shí)上還是方法上都有著積極的意義.從本節(jié)來(lái)看,學(xué)生對(duì)直線既是熟悉的，又是陌生的.熟悉是學(xué)生知道一次函數(shù)的圖像是直線，陌生是用解析幾何的方法求直線的方程.直線的點(diǎn)斜式方程是推導(dǎo)其它直線方程的基礎(chǔ),在直線方程中占有重要地位.
二、目標(biāo)及其解析
1.目標(biāo)
掌握直線的點(diǎn)斜式和斜截式方程的推導(dǎo)過(guò)程,并能根據(jù)條件熟練求出直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程.
2.解析
�、僦乐本�上的一點(diǎn)和直線的傾斜角的代數(shù)含義是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和這條直線的斜率.知道建立直線方程就是將確定直線的幾何要素用代數(shù)形式表示出來(lái).
�、诶斫饨⒅本�點(diǎn)斜式方程就是用直線上任意一點(diǎn)與已知點(diǎn)這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示斜率.
�、劢�(jīng)歷直線的點(diǎn)斜式方程的推導(dǎo)過(guò)程,體會(huì)直線和直線方程之間的關(guān)系,滲透解析幾何的基本思想.
�、茉谟懻撝本�的點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用條件與建立直線的斜截式方程中,體會(huì)分類討論的思想,體會(huì)特殊與一般思想.
�、菰诮⒅本�方程的過(guò)程中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.在直線的斜截式方程與一次函數(shù)的比較中,體會(huì)兩者區(qū)別與聯(lián)系,特別是體會(huì)兩者數(shù)形結(jié)合的區(qū)別,進(jìn)一步體會(huì)解析幾何的基本思想.
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
1.學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù),知道一次函數(shù)的圖像是一條直線,因此學(xué)生對(duì)研究直線的方程可能心存疑慮,產(chǎn)生疑慮的原因是學(xué)生初次接觸到解析幾何,不明確解析幾何的實(shí)質(zhì),因此應(yīng)跟學(xué)生講請(qǐng)解析幾何與函數(shù)的區(qū)別.
2.學(xué)生能聽(tīng)懂建立直線的點(diǎn)斜式的過(guò)程,但可能會(huì)不知道為什么要這么做.因此還是要跟學(xué)生講清坐標(biāo)法的實(shí)質(zhì)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題,用代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì).
3.由于學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)曲線與方程,因此學(xué)生難以理解直線與直線的方程,甚至認(rèn)為驗(yàn)證直線是方程的直線是多余的.這里讓學(xué)生初步理解就行,隨著后面教學(xué)的深入和反復(fù)滲透,學(xué)生會(huì)逐步理解的.
四、教法與學(xué)法分析
1、教法分析
新課標(biāo)指出,學(xué)生是教學(xué)的主體.教師要以學(xué)生活動(dòng)為主線.在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上,構(gòu)建新的知識(shí)體系.本節(jié)課可采用啟發(fā)式問(wèn)題教學(xué)法教學(xué).通過(guò)問(wèn)題串,啟發(fā)學(xué)生自主探究來(lái)達(dá)到對(duì)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和接受.通過(guò)縱向挖掘知識(shí)的深度，橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.并且使學(xué)生的有效思維量加大，隨著對(duì)新知識(shí)和方法產(chǎn)生有意注意，使能力與知識(shí)的形成相伴而行，使學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，形成方法.
2、學(xué)法分析
改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅僅限于對(duì)概念結(jié)論和技能的記憶、模仿和積累.獨(dú)立思考,自主探索,動(dòng)手實(shí)踐,合作交流,閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式,這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的再創(chuàng)造的過(guò)程.為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造有利的條件.以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新潛能,幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考,積極探索的習(xí)慣.
通過(guò)直線的點(diǎn)斜式方程的推導(dǎo)，加深對(duì)用坐標(biāo)求方程的理解;通過(guò)求直線的點(diǎn)斜式方程，理解一個(gè)點(diǎn)和方向可以確定一條直線;通過(guò)求直線的斜截式方程，熟悉用待定系數(shù)法求的過(guò)程，讓學(xué)生利用圖形直觀啟迪思維，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性思維質(zhì)的飛躍.讓學(xué)生從問(wèn)題中質(zhì)疑、嘗試、歸納、總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題和分析解決問(wèn)題的能力.
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
問(wèn)題1：在直角坐標(biāo)系內(nèi)確定直線一條直線幾何要素是什么?如何將這些幾何要素代數(shù)化?
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生理解直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角的代數(shù)含義是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和這條直線的斜率.
問(wèn)題2：建立直線方程的實(shí)質(zhì)是什么?
[設(shè)計(jì)意圖]建立直線方程就是將確定直線的幾何要素用代數(shù)形式表示出來(lái).也就是將直線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件用方程表示出來(lái).
引例：若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),斜率為,點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),那么點(diǎn)的坐標(biāo)滿足什么條件?
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生通過(guò)具體例子經(jīng)歷求直線的點(diǎn)斜式方程的過(guò)程,初步了解求直線方程的步驟.
問(wèn)題2.1要得到坐標(biāo)滿足什么條件,就是找出與、斜率為之間的關(guān)系,它們之間有何種關(guān)系?
(過(guò)與兩點(diǎn)的直線的斜率為)
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生尋找確定直線的條件，體會(huì)動(dòng)中找靜.
問(wèn)題2.2如何將上述條件用代數(shù)形式表示出來(lái)?
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生理解和體會(huì)用坐標(biāo)表示確定直線的條件.
用代數(shù)式表示出來(lái)就是,即.
問(wèn)題2.3為什么說(shuō)是滿足條件的直線方程?
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生初步感受直線與直線方程的關(guān)系.
此時(shí)的坐標(biāo)也滿足此方程.所以當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),其坐標(biāo)滿足.
另外以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)也在直線上.
所以我們得到經(jīng)過(guò)點(diǎn),斜率為的直線方程是.
問(wèn)題2.4：能否說(shuō)方程是經(jīng)過(guò),斜率為的直線方程?
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生初步感受直線(曲線)方程的完備性.盡管學(xué)生不可能深刻理解直線(曲線)方程的完備性，但在這里仍要滲透，為后因理解曲線方程的埋下伏筆.
問(wèn)題3：推廣：已知一直線過(guò)一定點(diǎn),且斜率為k,怎樣求直線的方程?
[設(shè)計(jì)意圖]由特殊到一般的學(xué)習(xí)思路，培養(yǎng)學(xué)生的是歸納概括能力.
問(wèn)題4：直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),如何才能選取所有的點(diǎn)?以前學(xué)習(xí)中有沒(méi)有類似的處理問(wèn)題的方法?
[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生掌握解析幾何取點(diǎn)的方法.
引導(dǎo)學(xué)生求出直線的點(diǎn)斜式方程
注：在求直線方程的過(guò)程中要說(shuō)明直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,也要說(shuō)明以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線上,即方程的解與直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的.為以后學(xué)習(xí)曲線與方程打好基礎(chǔ).教學(xué)中讓學(xué)生感覺(jué)到這一點(diǎn)就可以.不必做過(guò)多解釋.
問(wèn)題5：從求直線方程的過(guò)程中,你知道了求幾何圖形的方程的步驟有哪些嗎?
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生初步感受解析幾何求曲線方程的步驟.
�、僭O(shè)點(diǎn)---用表示曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo);
②尋找條件----寫出適合條件;
�、哿谐龇匠�----用坐標(biāo)表示條件,列出方程
④化簡(jiǎn)---化方程為最簡(jiǎn)形式;
�、葑C明----證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).
例1分別求經(jīng)過(guò)點(diǎn),且滿足下列條件的直線的方程,并畫出直線.
�、艃A斜角
⑵斜率
�、桥c軸平行;
⑷與軸平行.
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生掌握直線的點(diǎn)斜式的使用條件,把直線的點(diǎn)斜式方程作公式用，讓學(xué)生熟練掌握直線的點(diǎn)斜式方程，并理解直線的點(diǎn)斜式方程使用條件.
注：⑴應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式方程的條件是：①定點(diǎn)，②斜率存在,即直線的傾斜角.
�、婆c的區(qū)別.后者表示過(guò),且斜率為k的直線方程，而前者不包括.
�、钱�(dāng)直線的傾斜角時(shí),直線的斜率，直線方程是.
�、犬�(dāng)直線的傾斜角時(shí),此時(shí)不能直線的點(diǎn)斜式方程表示直線,直線方程是.
練習(xí)：1..
2.已知直線的方程是，則直線的斜率為，傾斜角為，這條直線經(jīng)過(guò)的一個(gè)已知點(diǎn)為.
[設(shè)計(jì)意圖]在直線的點(diǎn)斜式方程的逆用過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)和理解直線的點(diǎn)斜式方程.
問(wèn)題6：特別地，如果直線的斜率為,且與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b),求直線的方程.
[設(shè)計(jì)意圖]由一般到特殊，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，同時(shí)引出截距的概念和直線斜截式方程.
將斜率與定點(diǎn)代入點(diǎn)斜式直線方程可得：
說(shuō)明：我們把直線與y軸交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的截距.這個(gè)方程是由直線的斜率與它在y軸上的截距b確定,所以叫做直線的斜截式方程.
注(1)截距可取任意實(shí)數(shù),它不同于距離.直線在軸上截距的是.
(2)斜截式方程中的k和b有明顯的幾何意義.
(3)斜截式方程的使用范圍和斜截式一樣.
問(wèn)題7：直線的斜截式方程與我們學(xué)過(guò)的一次函數(shù)的類似.我們知道,一次函數(shù)的圖像是一條直線.你如何從直線方程的角度認(rèn)識(shí)一次函數(shù)?一次函數(shù)中k和b的幾何意義是什么?
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生理解直線方程與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)一步理解解析幾何的實(shí)質(zhì).函數(shù)圖像是以形助數(shù)，而解析幾何是以數(shù)論形.
練習(xí)：1..
2.直線的斜率為2，在軸上的截距為，求直線的方程.
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生明確截距的含義.
3.直線過(guò)點(diǎn)，它的斜率與直線的斜率相等，求直線的方程.
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生進(jìn)一步理解直線斜截式方程的結(jié)構(gòu)特征.
4.已知直線過(guò)兩點(diǎn)和，求直線的方程.
[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生能合理選擇直線方程的不同形式求直線方程,同時(shí)為下節(jié)學(xué)習(xí)直線的兩點(diǎn)式方程埋下伏筆.
例2：已知直線,試討論
(1)與平行的條件是什么?
(2)與重合的條件是什么?
(3)與垂直的條件是什么?
說(shuō)明：①平行、重合、垂直都是幾何上位置關(guān)系，如何用代數(shù)的數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫.
②教學(xué)中從兩個(gè)方面來(lái)說(shuō)明，若兩直線平行，則且反過(guò)來(lái)，若且，則兩直線平行.
③若直線的斜率不存在，與之平行、垂直的條件分別是什么?
練習(xí)：
問(wèn)題8：本節(jié)課你有哪些收獲?
要點(diǎn)：(1)直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的命名都是顧名思義的,要會(huì)加以區(qū)別.
(2)兩種形式的方程要在熟記的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用.
總結(jié)：制定教學(xué)計(jì)劃的主要目的是為了全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)。
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