動(dòng)態(tài)幾何與函數(shù)問題的總結(jié)
動(dòng)態(tài)幾何與函數(shù)問題的總結(jié)
【前言】
在第三講中我們已經(jīng)研究了動(dòng)態(tài)幾何問題的一般思路，但是那時(shí)候沒有對(duì)其中夾雜的函數(shù)問題展開來分析。整體說來，代幾綜合題大概有兩個(gè)側(cè)重，第一個(gè)是側(cè)重幾何方面，利用幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合代數(shù)知識(shí)來考察。而另一個(gè)則是側(cè)重代數(shù)方面，幾何性質(zhì)只是一個(gè)引入點(diǎn)，更多的考察了考生的計(jì)算功夫。但是這兩種側(cè)重也沒有很嚴(yán)格的分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重點(diǎn)放在了對(duì)函數(shù)，方程的應(yīng)用上。其中通過圖中已給幾何圖形構(gòu)建函數(shù)是重點(diǎn)考察對(duì)象。不過從近年中考的趨勢(shì)上看，要求所構(gòu)建的函數(shù)為很復(fù)雜的二次函數(shù)可能性略小，大多是一個(gè)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)式，體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)的考試說明當(dāng)中減少?gòu)?fù)雜性增大靈活性的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性的復(fù)雜計(jì)算題僅供參考。
【例1】
如圖①所示，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸正半軸與 軸負(fù)半軸上.過點(diǎn)B、C作直線 .將直線 平移，平移后的直線 與 軸交于點(diǎn)D，與 軸交于點(diǎn)E.
(1)將直線 向右平移，設(shè)平移距離CD為 (t0)，直角梯形OABC被直線 掃過的面積(圖中陰影部份)為 ， 關(guān)于 的函數(shù)圖象如圖②所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ平行于x軸，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，求梯形上底AB的長(zhǎng)及直角梯形OABC的面積.
(2)當(dāng) 時(shí)，求S關(guān)于 的函數(shù)解析式.
【思路分析】本題雖然不難，但是非�？简�(yàn)考生對(duì)于函數(shù)圖像的理解。很多考生看到圖二的函數(shù)圖像沒有數(shù)學(xué)感覺，反應(yīng)不上來那個(gè)M點(diǎn)是何含義，于是無(wú)從下手。其實(shí)M點(diǎn)就表示當(dāng)平移距離為2的時(shí)候整個(gè)陰影部分面積為8，相對(duì)的，N點(diǎn)表示移動(dòng)距離超過4之后陰影部分面積就不動(dòng)了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當(dāng)D移動(dòng)過了0點(diǎn)的時(shí)候.所以根據(jù)這么幾種情況去作答就可以了。第二問建立函數(shù)式則需要看出當(dāng) 時(shí)，陰影部分面積就是整個(gè)梯形面積減去△ODE的面積，于是根據(jù)這個(gè)構(gòu)造函數(shù)式即可。動(dòng)態(tài)幾何連帶函數(shù)的問題往往需要找出圖形的移動(dòng)與函數(shù)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后利用對(duì)應(yīng)關(guān)系去分段求解。
【解】
(1)由圖(2)知， 點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，8)
由此判斷： ;
∵ 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4， 是平行于 軸的射線，
直角梯形 的面積為： ..... (3分)
(2)當(dāng) 時(shí)，
陰影部分的面積=直角梯形 的面積 的面積 (基本上實(shí)際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補(bǔ)關(guān)系)
∵
.
.
【例2】
已知：在矩形 中， ， .分別以 所在直線為 軸和 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 是邊 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 重合)，過 點(diǎn)的反比例函數(shù) 的圖象與 邊交于點(diǎn) .
(1)求證： 與 的面積相等;
(2)記 ，求當(dāng) 為何值時(shí)， 有最大值，最大值為多少?
(3)請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn) ，使得將 沿 對(duì)折后， 點(diǎn)恰好落在 上?若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.
【思路分析】本題看似幾何問題，但是實(shí)際上△AOE和△FOB這兩個(gè)直角三角形的底邊和高恰好就是E,F點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，而這個(gè)乘積恰好就是反比例函數(shù)的系數(shù)K。所以直接設(shè)點(diǎn)即可輕松證出結(jié)果。第二問有些同學(xué)可能依然糾結(jié)這個(gè)△EOF的面積該怎么算，事實(shí)上從第一問的結(jié)果就可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)矩形中的三個(gè)RT△面積都是異常好求的。于是利用矩形面積減去三個(gè)小RT△面積即可，經(jīng)過一系列化簡(jiǎn)即可求得表達(dá)式，利用對(duì)稱軸求出最大值。第三問的思路就是假設(shè)這個(gè)點(diǎn)存在，看看能不能證明出來。因?yàn)槭欠蹎栴}，翻折之后大量相等的角和邊,所以自然去利用三角形相似去求解，于是變成一道比較典型的幾何題目，做垂線就OK.
【解析】
(1)證明：設(shè) ， ， 與 的面積分別為 ， ，
由題意得 ， .
， .
，即 與 的面積相等.
(2)由題意知： 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ， ， (想不到這樣設(shè)點(diǎn)也可以直接用X去代入,麻煩一點(diǎn)而已)
，
.
當(dāng) 時(shí)， 有最大值.
.
(3)解：設(shè)存在這樣的點(diǎn) ，將 沿 對(duì)折后， 點(diǎn)恰好落在 邊上的 點(diǎn)，過點(diǎn) 作 ，垂足為 .
由題意得： ， ， ，
， .
又 ，
.(將已知和所求的量放在這一對(duì)有關(guān)聯(lián)的三角形當(dāng)中)
， ，
.
， ，解得 .
.
存在符合條件的點(diǎn) ，它的坐標(biāo)為 .
【例3】
如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)。
(1)設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?
(3)是否存在時(shí)刻t，使得PQBD?若存在，求出t的值;若不存在，請(qǐng)說明理由。
【思路分析】 本題是一道和一元二次方程結(jié)合較為緊密的代幾綜合題，大量時(shí)間都在計(jì)算上。第三講的時(shí)候我們已經(jīng)探討過解決動(dòng)點(diǎn)問題的思路就是看運(yùn)動(dòng)過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變化。對(duì)于該題來說，當(dāng)P,Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPQ的高的長(zhǎng)度始終不變，即為CD長(zhǎng)，所以只需關(guān)注變化的底邊BQ即可，于是列出函數(shù)式。第二問則要分類討論，牢牢把握住高不變這個(gè)條件，通過勾股定理建立方程去求解。第三問很多同學(xué)畫出圖形以后就不知如何下手，此時(shí)不要忘記這個(gè)題目中貫穿始終的不動(dòng)量高，過Q做出垂線以后就發(fā)現(xiàn)利用角度互余關(guān)系就可以證明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立兩個(gè)直角三角形直角邊的比例關(guān)系，而這之中只有PE是未知的，于是得解。 這道題放在這里是想讓各位體會(huì)一下那個(gè)不動(dòng)量高的作用，每一小問都和它休戚相關(guān)，利用這個(gè)不變的高區(qū)建立函數(shù)，建立方程組乃至比例關(guān)系才能拿到全分。
【解析】
解： (1)如圖1，過點(diǎn)P作PMBC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。
PM=DC=12
∵QB=16-t，S= 12(16-t)=96-t
(2)由圖可知：CM=PD=2t，CQ=t。熱以B、P、Q三點(diǎn)
為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。
�、偃鬚Q=BQ。在Rt△PMQ中， ，由PQ2=BQ2
得 ，解得t= ;
�、谌鬊P=BQ。在Rt△PMB中， 。由BP2=BQ2 得：
即 。
由于=-7040
無(wú)解，PBBQ
�、廴鬚B=PQ。由PB2=PQ2，得
整理，得 。解得 (舍)(想想看為什么要舍?函數(shù)自變量的取值范圍是多少?)
綜合上面的討論可知：當(dāng)t= 秒時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。
(3)設(shè)存在時(shí)刻t，使得PQBD。如圖2，過點(diǎn)Q作QEADS，垂足為E。由Rt△BDC∽R(shí)t△QPE，
得 ，即 。解得t=9
所以，當(dāng)t=9秒時(shí)，PQBD。
【例4】
在Rt△ABC中，C=90，AC = 3，AB = 5.點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回;點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t0).
(1)當(dāng)t = 2時(shí)，AP = ，點(diǎn)Q到AC的距離是 ;
(2)在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，求△APQ的面積S與
t的函數(shù)關(guān)系式;(不必寫出t的取值范圍)
(3)在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形QBED能否成
為直角梯形?若能，求t的值.若不能，請(qǐng)說明理由;
(4)當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C 時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值.
【思路分析】依然是一道放在幾何圖形當(dāng)中的函數(shù)題。但是本題略有不同的是動(dòng)點(diǎn)有一個(gè)折返的動(dòng)作，所以加大了思考的難度,但是這個(gè)條件基本不影響做題,不需要太專注于其上。首先應(yīng)當(dāng)注意到的是在運(yùn)動(dòng)過程中DE保持垂直平分PQ這一條件，然后判斷t可能的范圍.因?yàn)榻o出了AC和CB的長(zhǎng)度,據(jù)此估計(jì)出運(yùn)動(dòng)可能呈現(xiàn)的狀態(tài).第一問簡(jiǎn)單不用多說,第二問做出垂線利用三角形內(nèi)的比例關(guān)系做出函數(shù).第三問尤其注意直角梯形在本題中有兩種呈現(xiàn)方式.DE//QB和PQ//BC都要分情況討論.最后一問則可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量關(guān)系去求解.
解：(1)1， ;
(2)作QFAC于點(diǎn)F，如圖3， AQ = CP= t， .
由△AQF∽△ABC， ，
得 . .
，
即 .
(3)能.
①當(dāng)DE∥QB時(shí)，如圖4.
∵DEPQ，PQQB，四邊形QBED是直角梯形.
此時(shí)AQP=90.
由△APQ ∽△ABC，得 ，
即 . 解得 .
�、谌鐖D5，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DEBC，四邊形QBED是直角梯形.
此時(shí)APQ =90.
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即 . 解得 .
(4) 或 .
【注：①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C.
方法一、連接QC，作QGBC于點(diǎn)G，如圖6.
， .
由 ，得 ，解得 .
方法二、由 ，得 ，進(jìn)而可得
，得 ， . .
②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C，如圖7.
，
【例5】
如圖，在 中， ， ， ， 分別是邊 的中點(diǎn)，點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)沿 方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) 作 于 ，過點(diǎn) 作 交 于
，當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí)，點(diǎn) 停止運(yùn)動(dòng).設(shè) ， .
(1)求點(diǎn) 到 的距離 的長(zhǎng);
(2)求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(3)是否存在點(diǎn) ，使 為等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的 的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.
【思路分析】本題也是一道較為典型的題。第一問其實(shí)就是重要暗示，算DH的長(zhǎng)度實(shí)際上就是后面PQ的長(zhǎng)度，在構(gòu)建等腰三角形中發(fā)揮重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二問列函數(shù)式，最重要的是找到y(tǒng)(QR)和x(BQ)要通過哪些量練聯(lián)系在一起.我們發(fā)現(xiàn)RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例關(guān)系得出結(jié)果.第三問依然是要分類討論,但凡看到構(gòu)成特殊圖形的情況都要去討論一下.不同類之間的解法也有所不同,需要注意一下.
解：(1) ， ， ， .
點(diǎn) 為 中點(diǎn)， .
， .
，
， .
(2) ， .
， ，
， ，
即 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式為： .
(3)存在，分三種情況：
�、佼�(dāng) 時(shí)，過點(diǎn) 作 于 ，則 .
， ，
.
， ，
， .
②當(dāng) 時(shí)， ，
.
③當(dāng) 時(shí)，則 為 中垂線上的點(diǎn)，
于是點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，
.
，
， .
綜上所述，當(dāng) 為 或6或 時(shí)， 為等腰三角形.
【總結(jié)】通過以上的例題，大家心里大概都有了底。整體來說這類函數(shù)型動(dòng)態(tài)幾何題是偏難的，不光對(duì)幾何圖形的分析有一定要求，而且還很考驗(yàn)考生的方程、函數(shù)的計(jì)算能力。解決這類問題需要注意這么幾個(gè)點(diǎn)：首先和純動(dòng)態(tài)幾何題一樣，始終把握在變化中不動(dòng)的量將函數(shù)的變量放在同一組關(guān)系中建立聯(lián)系,尤其是找出題中是否有可以將這些條件聯(lián)系起來的相似三角形組來構(gòu)造比例關(guān)系。其次要注意特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類討論。第三要注意函數(shù)自變量的取值范圍，合理篩選出可能的情況。最后就是在計(jì)算環(huán)節(jié)認(rèn)真細(xì)心，做好每一步。
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